Question

【題目】設橢圓： （）的左右焦點分別為， ，下頂點為，直線的方程為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設為橢圓上異于其頂點的一點， 到直線的距離為，且三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓相切，過焦點， 分別作， ，垂足分別為， ，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】試題分析：（Ⅰ） 由直線斜率為 可得 ，從而可得結果；（Ⅱ）（1）先求得 點坐標，根據三角形面積可得 的值，從而可得橢圓方程,(2) 設直線： 代入橢圓的方程中，

得 ,判別式為零，及點到直線的距離公式可將表示為 的函數，再利用基本不等式求解即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知，則.

，

（Ⅱ）（1）設點，于是，

所以或

而 無解；

由得.

又因為三角形面積，所以，

于是，橢圓的方程為.

（2）設直線： 代入橢圓的方程中，

得

由已知，即

同時，

①當時，

所以

當且僅當時等號成立

而時， ，因此

②當時，四邊形為矩形

此時

綜上①②可知， 的最大值為4.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程和最值問題，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調法以及均值不等式法，本題（Ⅱ）就是用的這種思路，利用均值不等式法的最大值的.