Question

【題目】已知點，橢圓 的離心率為是橢圓的右焦點，直線的斜率為為坐標原點．

(1)求的方程；

(2)設過點的動直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用離心率求出c,再由離心率求出a，結合隱含條件求得b,則橢圓方程可求；（2）當l⊥x軸時不合題意，設l：y＝kx－2，聯立直線與橢圓的方程，求出P、Q的橫坐標，代入弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離求O到PQ的距離，帶入三角形面積公式，換元后利用均值不等式求最值，從而求解．

試題解析：(1)設F(c,0)，由條件知， ，得c＝.

又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程為.

(2)當l⊥x軸時不合題意，

故設l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

將y＝kx－2代入中，

得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.

當Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>時，

由根與系數的關系得：

x1＋x2＝，x1x2＝.

從而|PQ|＝|x1－x2|＝.

又點O到直線PQ的距離d＝.

所以△OPQ的面積S△OPQ＝d·|PQ|＝.

設＝t，則t>0，S△OPQ＝.

因為t＋≥4，當且僅當t＝2，

即k＝時等號成立，且滿足Δ>0.

所以，當△OPQ的面積最大時，l的方程為. 或