Question

設函數f（x）=ax³-3x²+bx，已知不等式

f(x)

x

＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
（1）求a、b的值．
（2）設函數g（x）=

f(x)

x2

，x∈[1，2]，求函數y=g（x）的最小值及對應的x值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得到方程ax²-3x+b=0的兩根分別為1和2，利用根與系數的關系建立關于a、b的方程，解之即可得到實數a、b的值；
（2）化簡函數g（x），得g(x)=x+

2

x

-3，利用基本不等式得x+

2

x

≥2

2

，當且僅當x=

2

時取“=”號．由此即可求出函數y=g（x）的最小值及對應的x值．

解答：解：（1）∵不等式

f(x)

x

＜0的解集為{x|1＜x＜2}，
∴1和2是方程ax²-3x+b=0的根．…（2分）
由根與系數的關系，得

1•2= b a 1+2= 3 a

，解得

a=1 b=2

；…（6分）
（2）∵x∈[1，2]為正數，
∴函數g(x)=

f(x)

x2

=

x2-3x+2

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3…（10分）
當且僅當x=

2

時取“=”號．…（11分）
注意到

2

∈[1，2]，可得函數y=g（x）的最小值是2

2

-3，對應x的值是

2

．…（12分）

點評：本題給出關于三次多項式函數的不等式的解集，求函數的表達式，并依此求另一個函數的最值．著重考查了一元二次方程根與系數的關系、運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．