Question

已知f(x)=sinxcosx+cos2x-

1

2

，x∈R．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）的最大值，并求使f（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和正弦公式和二倍角公式花簡函數f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，即得其周期．
 （2）根據函數f（x）的解析式和正弦函數的定義域、值域，求出函數的最大值及取最大值時x的集合．

解答：解：（1）函數f（x）=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
故最小正周期等于2π．
（2）∵函數f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，故函數f（x）的最大值為

2 +1

2

，
此時，x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即 x=2kπ+

π

4

 k∈z．
 故使f（x）取得最大值的x的集合為{x|x=2kπ+

π

4

 k∈z }．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性和值域，屬于中檔題．