Question

【題目】已知點是直線與橢圓的一個公共點， 分別為該橢圓的左右焦點，設取得最小值時橢圓為.

（1）求橢圓的標準方程及離心率；

（2）已知為橢圓上關于軸對稱的兩點， 是橢圓上異于的任意一點，直線分別與軸交于點，試判斷是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；（2） .

【解析】試題分析：（1）聯立，得，由此利用韋達定理、橢圓定義，結合已知條件能求出橢圓的方程；（2）設，且，由已知求出，由此能求出為定值.

試題解析：（1）聯立，得，

∵直線與橢圓有公共點，

∴，解得，∴，

又由橢圓定義知，

故當時， 取得最小值，

此時橢圓的方程為；離心率為 ；

（2）設，且，

∵，∴，

即，

∴，

同理，得，

∴，

又，

∴，

∴，

∴為定值1.