Question

【題目】（本小題滿分12分）我們把一系列向量按次序排成一列，稱之為向量列，記作，已知向量列滿足：，．

（1）證明：數列是等比數列；

（2）設表示向量與間的夾角，若，對于任意正整數，不等式恒成立，求實數的范圍

（3）設，問數列中是否存在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在最小項，最小項是

【解析】

試題分析：第一問利用等比數列的定義證明，第二問只需證明不等式左邊的最小值大于a（a+2）,接下來研究左邊和式的單調性，最后轉化為求解，第三問假設存在第n項最小滿足，求解關于n的不等式得第5項最小．

試題解析：（1）∵ ，

∴ ，

∴數列是等比數列；

（2）∵ ，∴ ， ，

不等式化為：對任意正整數恒成立．

設．

又 ，

∴ 數列單調遞增，，

要使不等式恒成立，只要， ，得

∴ 使不等式對于任意正整數恒成立的的取值范圍是．

（3）∵，∴ ，

假設中的第 項最小，由 ，，∴，

當時，有，由可得，即，∴ ，，或（舍），

∴ ，即有，

由，得， 又，∴ ；

故數列中存在最小項，最小項是