Question

【題目】已知

（1）設,，若函數存在零點，求a的取值范圍；

（2）若是偶函數，求的值；

（3）在（2）條件下，設，若函數與的圖象只有一個公共點，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由題意得方程有解，求出函數的值域即可得到所求的范圍；

（2）根據偶函數的定義得，由此得到在R上恒成立，故得；（3）將問題轉化為方程只有一解求解，整理后結合分類討論并根據方程根的分布的知識求解即可．

（1）令，得．

∵函數存在零點，

∴方程有解.

又，

易知在上是減函數，

又，，

所以，

所以的取值范圍是.

（2）方法1：

由題意得函數的定義域為R．

∵函數為偶函數，

∴

∴

∴，

∴．

檢驗：當時，，

∵

∴函數為偶函數，

∴．

方法2：

∵函數為偶函數，

∴，

∴，

∴，

∴在R上恒成立，

∴．

∴．

（3）∵與的圖象只有一個公共點，

∴方程只有一解，

即只有一解，

又，

∴方程只有一解.

令，則關于t的方程有一正根，

∴方程有一正根，

（ⅰ）當b=1時，解得，不合題意；

（ⅱ）當時，

①若方程有兩相等正根，則，

解得

②若方程有兩不等實根且只有一個正根，

由于函數的圖象恒過點，

故只需二次函數圖象，即拋物線的開口向上，

∴

解得，

綜上可得實數的取值范圍．