Question

【題目】已知函數f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0對任意x∈[e，e2]恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然常數）；
（3）求證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= （x＞0），

當a＞0時，f（x）的單調增區間為（0，1]，單調減區間為[1，+∞）；

當a＜0時，f（x）的單調增區間為[1，+∞），單調減區間為（0，1]；

（2）解：令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，則F′（x）= ，

若﹣a≤e，即a≥﹣e，

F（x）在[e，e2]上是增函數，

F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，

a≤ ，無解．

若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，

F（x）在[e，﹣a]上是減函數；在[﹣a，e2]上是增函數，

F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．

F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤ ，

∴﹣e2≤a≤ ．

若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，

F（x）在[e，e2]上是減函數，

F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，

∴a＜﹣e2，

綜上所述，a≤ ．

（3）解：證明：令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，

由（1）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，

∴當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，

∵n≥2，n∈N*，則有ln（ +1）＜ ＜ = ﹣ ，

要證ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），

只需證ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）＜1（n≥2，n∈N*）；

ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）

＜（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）=1﹣ ＜1；

所以原不等式成立

【解析】（1）求導f′（x）= （x＞0），從而判斷函數的單調性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，從而求導F′（x）= ，再由導數的正負討論確定函數的單調性，從而求函數的最大值，從而化恒成立問題為最值問題即可；（3）令a=﹣1，此時f（x）=﹣lnx+x﹣3，從而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調遞增，從而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，從而可得若n≥2，n∈N* ， 則有ln（ +1）＜ ＜ = ﹣ ，從而化ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）為ln（ +1）+ln（ +1）+…+ln（ +1）＜1（n≥2，n∈N*）；從而證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．