Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx（a，b為常數，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在常數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題設，方程f （x）=x有等根，即ax2+（b﹣1）x=0有等根，

∴△=0b=1．

又f （2）=0，

∴4a+2b=0，∴a=﹣ ．

故f （x）=﹣ x2+x．

（2）解：∵f （x）=﹣ x2+x=﹣ （x﹣1）2+ ≤ ，

∴2n≤ ，即 n≤ ．

而當n≤ 時，f （x）在[m，n]上為增函數，

設滿足條件的m，n存在，則 即 ，

又m＜n≤ ，由上可解得 m=﹣2，n=0．

即符合條件的m，n存在，其值為m=﹣2，n=0

【解析】（1）利用條件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程組，求f（x）的解析式（2）利用二次函數的單調性和值域之間的關系建立，方程關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減)，還要掌握二次函數在閉區間上的最值(當時，當時，；當時在上遞減，當時，)的相關知識才是答題的關鍵．