Question

【題目】已知函數f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ．
（1）當a=﹣2，x∈[1，2]時，求函數f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=（ ）x，則y=f（x）=1+at+t2，

當a=﹣2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1﹣2t+t2，t∈[ ， ]，

當t= ，即x=2時，函數f（x）的最大值為 ，

當t= ，即x=1時，函數f（x）的最小值為

（2）解：若函數f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，

則y=1+at+t2，在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，

由函數y=1+at+t2的圖象是開口朝上，且以直線t= 為對稱軸的直線，

故當 ≤0，即a≥0時，1+ a+ ≤3，解得：a∈[0， ]

當0＜ ＜ ，即 ＜a＜0時， ，解得：a∈（ ，0），

當 ≥ ，即a≤ 時，1+ a+ ≥﹣2，解得：a∈[﹣ ， ]

綜相可得a∈[﹣ ， ]

【解析】令t=（ ）x ， 則y=f（x）=1+at+t2 ， （1）當a=﹣2，x∈[1，2]時，y=f（x）=1﹣2t+t2 ， t∈[ ， ]，結合二次函數的圖象和性質，可得函數f（x）的最大值與最小值；（2）若函數f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，y=1+at+t2 ， 在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，結合二次函數的圖象和性質，可得實數a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)．