Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常數），若f（x）在（0，1）上單調遞減，則下列結論中：①f（0）f（1）≤0；②g（0）g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值． 正確結論的個數為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函數f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上單調遞減， 但f（0），f（1）的符號不能確定，
故①f（0）f（1）≤0不一定正確；
由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
故g（0）≤0，且g（1）≤0，
故②g（0）g（1）≥0一定正確；
此時3x2+2ax+b=0有兩個不等的實根，
故△=4a2﹣12b＞0，
即a2﹣3b＞0，
但a2﹣3b不一定有最小值，
故③不一定正確；
故選：B
【考點精析】認真審題，首先需要了解命題的真假判斷與應用(兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系)．