Question

已知雙曲線E：的左焦點為F，左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經過坐標原點O，設G是圓C上任意一點．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（Ⅲ）在平面上是否存在定點P，使得對圓C上任意的點G有？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，確定圓心坐標，又圓C恰好經過坐標原點O，可求圓的半徑，從而可求圓C的方程；
（Ⅱ）設出G（-5，y_G）代入圓C的方程求出y_G，進而求出FG的方程，利用點到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離，再利用勾股定理即可求出弦長的一半進而可求解；
（Ⅲ）假設存在P（s，t），G（x，y），利用兩點間的距離公式化簡，結合G在圓C上，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）由雙曲線E：，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）
又圓C過原點，所以圓C的方程為（x+4）²+y²=16．   …（4分）
（Ⅱ）由題意，設G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得，…（5分）
所以FG的斜率為，FG的方程為．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距離為，…（7分）
直線FG被圓C截得的弦長為…（9分）
（Ⅲ）設P（s，t），G（x，y），則由，得
整理得3（x²+y²）+（48+2s）x+2ty+144-s²-t²=0．①…（11分）
又G（x，y）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x²+y²+8x=0   ②
②代入①，得（2s+24）x+2ty+144-s²-t²=0．…（13分）
又由G（x，y）為圓C上任意一點可知，…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定點P，其坐標為（-12，0）．  …（16分）
點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查弦長公式，考查恒成立問題，解題的關鍵是假設存在，建立等式，利用恒成立的條件．