Question

    已知各項均不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁＝c，2S_n＝a_na_n＋1＋r．

   （1）若r＝－6，數列{a_n}能否成為等差數列？若能，求滿足的條件；若不能，請說明理由．

   （2）設，，

        若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）n＝1時，2a₁＝a₁a₂＋r，∵a₁＝c≠0，∴2c＝ca₂＋r，．  （1分）

n≥2時，2S_n＝a_na_n＋1＋r，①    2S_n－1＝a_n－1a_n＋r，②

①－②，得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)．∵a_n≠0，∴a_n＋1－a_n－1＝2．        （ 3分）

則a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，… 成公差為2的等差數列，a_2n－1＝a₁＋2(n－1)．

a₂，a₄，a₆，…，a_2n，… 成公差為2的等差數列， a_2n＝a₂＋2(n－1)．

要使{a_n}為等差數列，當且僅當a₂－a₁＝1．即．r＝c－c²．  （ 4分）

∵r＝－6，∴c²－c－6＝0，c＝－2或3．

∵當c＝－2，，不合題意，舍去.

∴當且僅當時，數列為等差數列       （5分）

（2）＝[a₁＋2(n－1)]－[a₂＋2(n－1)]＝a₁－a₂＝－2．

＝[a₂＋2(n－1)]－（a₁＋2n）＝a₂－a₁－2＝－()． （8分）

∴        （9分）

．  （10分）

＝．（11分）

∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1． （13分）

且＞－1．  （14分）

又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．

∴＜1．．∴＜1．（15分）

∴對于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）

附加題部分