Question

設有關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（1）將一顆質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b．求上述方程有實根的概率；
（2）若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

分析：記事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實根”．由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²，當a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實根?a≥b．
（1）基本事件共6×6=36個，其中事件A包含21個基本事件，由此能求出方程有實根的概率．
（2）全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面積為S=3×2=6，又構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，其面積為S′=3×2-

1

2

×22=4，由此能求出方程有實根的概率．

解答：解：記事件A=“方程x²+2ax+b²=0有實根”．
由△=（2a）²-4b²≥0，得：a²≥b²
所以，當a≥0，b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實根?a≥b（2分）
（1）基本事件共6×6=36個，
其中事件A包含21個基本事件：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
（5，5），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）
所以P(A)=

21

36

=

7

12

（6分）
（2）全部結果所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，
其面積為S=3×2=6．
又構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，
其面積為S′=3×2-

1

2

×22=4，
所以 P(A)=

4

6

=

2

3

（10分）

點評：本題考查古典概率及其運算公式，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．