Question

【題目】已知橢圓 ： （ ）的左、右焦點分別為 ， ，其離心率為 ，短軸端點與焦點構成四邊形的面積為 .

（1）求橢圓 的方程；

（2）若過點 的直線 與橢圓 交于不同的兩點 、 ， 為坐標原點，當 時，試求直線 的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 .

【解析】試題分析：（1）依題意， ，根據及，可求 ， 的值，即可得到橢圓 的方程；

（2）當直線 的斜率不存在時， ， ， ；

當直線 的斜率存在時，設直線 的斜率為 ，則直線 的方程為 ，

聯立方程組 消 得：

根據韋達定理可得 ， ，再由即可求得值，進而得到直線方程.

試題解析：（1）依題意，

又 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，

故橢圓的標準方程為

（2）當直線 的斜率不存在時， ， ， ；

當直線 的斜率存在時，設直線 的斜率為 ，則直線 的方程為 ，

聯立方程組 消 得：

設 ， ，則 ，

∴ ，即 ，∴

∴直線方程為 ，即 或 .