Question

【題目】已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（﹣ ，0），F2（ ，0），且橢圓C過點P（3，2）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）與直線OP平行的直線交橢圓C于A，B兩點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意設橢圓方程為 =1，

∵橢圓C的兩個焦點分別為F1（﹣ ，0），

F2（ ，0），且橢圓C過點P（3，2），

由橢圓定義可得2a= + =6 ，即a=3 ，

∴b2=a2﹣c2=8，

則橢圓C的標準方程為 =1；

（2）解：由kOP= ，

設與直線OP平行的直線方程為y= x+m，

聯立 ，得8x2+12mx+9m2﹣72=0．

由判別式△=144m2﹣32（9m2﹣72）＞0，解得0＜|m|＜4．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣ m，x1x2= ，

|AB|= = ，

點O到直線AB的距離為d= = |m|，

即有△PAB面積為S= |AB|d= = ≤ =6．

當且僅當9m2=144﹣9m2，即m=±2 時，取得最大值6．

【解析】（1）由題意設橢圓方程為 =1，利用橢圓定義求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）求出kOP= ，設與直線OP平行的直線方程為y= x+m，聯立直線和橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，以及弦長公式，點到直線的距離公式和三角形的面積公式，結合基本不等式即可得到所求最大值．