Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，滿足c=λacosB（λ∈R），
（1）若λ=2，A=30°，求B的值；
（2）若a=2，B=60°，且角C為鈍角，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將λ=2代入已知等式，利用余弦定理表示出cosB，整理后得到a=b，利用等邊對等角即可求出B的度數；
（2）法1：由C為鈍角及B的度數，得到A的范圍，利用正弦定理列出關系式，表示出b，由c=2λcos60°=λ，利用余弦定理列出關系式，根據λ大于0，即可求出λ的范圍；
法2：根據題意得到c=2λcos60°=λ，利用正弦定理表示出c，根據C為鈍角，得出A的范圍，將C=120°-A代入即可求出λ的范圍．

解答：解：（1）λ=2時，c=2acosB=2a•

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：a²=b²，即a=b，
則B=A=30°；
（2）法1：∵C＞90°，∴A=180°-B-C=120°-C＜30°，
由正弦定理得：bsinA=asinB，即b=

3

sinA

＞2

3

，
又c=2λcos60°=λ，
∴根據余弦定理得：b²=4+λ²-2λ＞12，
又λ＞0，∴λ＞4；
法2：c=2λcos60°=λ，由正弦定理得：csinA=asinC，即c=

2sinC

sinA

，
∵C＞90°，∴A=180°-B-C＜30°，
將C=120°-A代人，得：c=λ=

2sin(120°-A)

sinA

=

3 cosA+sinA

sinA

=

3

tanA

+1＞4．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，正弦、正切函數的圖象與性質，熟練掌握定理是解本題的關鍵．