Question

【題目】過橢圓 =1的右焦點F作斜率k=﹣1的直線交橢圓于A，B兩點，且 共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）當三角形AOB的面積S△AOB= 時，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設AB：y=﹣x+c，直線AB交橢圓于兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），

，b2x2+a2（﹣x+c）2=a2b2，

（b2+a2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，

， ， =（x1+x2，y1+y2），與 = 共線，

可得3（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，3（﹣x1+c﹣x2+c）﹣（x1+x2）=0

（2）解：由a2=3b2，可設橢圓的方程為： ，c2=3b2﹣b2=2b2， ，

AB：y=﹣x+ b， ，可得： ，

即 ，

∴ ， ，

AB的距離為：|AB|= = = ，

O到AB距離 ．

，

橢圓方程為 ．

【解析】（1）設直線AB的方程，A，B的坐標，聯立直線的方程和橢圓的方程，利用韋達定理，通過+與共線，可求出橢圓的離心率；（2）設橢圓的方程和直線的方程，聯立方程組，通過韋達定理求出|AB|，O到直線AB的距離 ，利用三角形的面積，可求出橢圓的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．