Question

【題目】在四棱錐中， 平面， 是的中點， ， ， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，則，先根據線面垂直的性質證明；進而可得，再由線面判定定理即可證明平面，從而可得；（2）建立空間坐標系，分別求出平面與平面的的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，即可求二面角的余弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接，則.

因為，所以.

因為平面， 平面，所以又

所以平面

因為平面，所以；又，所以；

又因為, ，所以平面

因為平面，所以.

（2）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則， ， ， ， ，

， .

設平面的法向量為，則所以

令，所以.

由（1）知平面， 平面，所以.

同理，所以平面

所以平面的一個法向量.

所以，

由圖可知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.