Question

給出以下五個命題：
①任意n∈N^*，（n²-5n+5）²=1．
②已知f(x)=

x

1+x2

，則

f(f(f(…)))

n個

=

x

1+nx2

．
③設全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，則C_U（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定義在R上的函數y=f（x）在區間（1，2）上存在唯一零點的充要條件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，則

1

a

+

1

b

+2

ab

的最小值是4．
其中正確命題的序號是

②⑤

．

Answer 1

分析：通過舉反例可說明①④是假命題；采用計算前幾項，再進行歸納的方法，可得②是真命題；根據集合的運算性質進行計算，可得到③是假命題；利用基本不等式求最值，可得⑤是真命題．

解答：解：對于①，取n=5，得（n²-5n+5）²=25≠1，故①不正確；
對于②，因為f（f（x））=

f(x)

1+f2(x)

=

x

1+2x2

，同理可得f（f（f（x）））=

x

1+3x2

，
利用歸納推理，可判斷出

f(f(f(…)))

n個

=

x

1+nx2

，所以②是真命題；
對于③，根據集合的運算性質，可得C_U（A∪B）=（C_UA）∩（C_UB）={1，2，5}，故③不正確；
對于④，對于f(x)=(x-

3

2

)2，在區間（1，2）上存在唯一零點x=

3

2

，而f（1）•f（2）=

1

16

＞0，
由此可得不是充要條件，故④不正確；
對于⑤，

1

a

+

1

b

+2

ab

≥2

1 ab

+2

ab

≥4，當且僅當a=b=1時兩個等號都成立
故

1

a

+

1

b

+2

ab

的最小值是4，⑤是真命題
故答案為：②⑤

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了歸納推理、集合的運算性質、函數的零點和用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．