Question

對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)f（x）=x²是不是閉函數(shù)，若是，請找出區(qū)間[a，b]，若不是，請另增加一個(gè)條件，使f（x）是閉函數(shù)．
（3）若函數(shù)y=k+

x+2

是閉函數(shù)，且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)g（x）=-x³在R上為單調(diào)減函數(shù)的特點(diǎn)，由g（a）=b，g（b）=a列方程即可解得a，b
（2）由于函數(shù)f（x）=x²在R上不單調(diào)，故不是閉函數(shù)，但在單調(diào)區(qū)間[0，+∞）上可能為閉函數(shù)，利用與（1）相同的方法即可找到滿足條件的區(qū)間
（3）函數(shù)y=k+

x+2

在[-2，+∞）單調(diào)遞增，若存在區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞），使得在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇a，b]，則得到關(guān)于a，b的方程組，此方程組有[-2，+∞）上的解即可，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題列不等式即可得k的取值范圍

解答：解：（1）由題意，∵y=-x³在[a，b]上遞減，要使g（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]
則需

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

∴所求的區(qū)間為[-1，1]
（2）∵函數(shù)f（x）=x²的定義域?yàn)镽，但在[0，+∞）是增函數(shù)，在（-∞，0]上是減函數(shù)，∴f（x）在R上不滿足條件①，∴f（x）不是閉函數(shù)．
若D=[0，+∞），則f（x）是D上的增函數(shù)，滿足條件①，設(shè)滿足條件②的區(qū)間為[a，b]，
則

0≤a＜b a2=a b2=b

⇒

a=0 b=1

∴存在區(qū)間[a，b]=[0，1]使f（x）滿足條件②
∴f（x）=x²（x∈[0，+∞））是閉函數(shù)，增加的條件是：D=[0，+∞）．
（3）∵函數(shù)y=k+

x+2

在[-2，+∞）單調(diào)遞增，若y=k+

x+2

是閉函數(shù)，
則存在區(qū)間[a，b]⊆[-2，+∞），使得在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇a，b]，
即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
∴a，b為方程x=k+

x+2

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個(gè)不等的實(shí)根．
令h（x）=x²-（2k+1）x+k²-2
有

△＞0 f(-2)≥0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞-2

，解得-

9

4

＜k≤-2．
∴k的取值范圍為(-

9

4

，-2]．

點(diǎn)評：本題考查了新定義型函數(shù)的理解和運(yùn)用能力，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法