Question

【題目】函數(shù)f（x）=x3+ax2+5x+6在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A. [﹣，+∞） B. （﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）

C. （﹣∞，﹣3] D. [﹣，]

Answer 1

【答案】C

【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則f′（x）≤0在[1，3]上恒成立，利用分離參數(shù)法，借助于導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

求導(dǎo)數(shù)可得：f′（x）=x2+2ax+5

∵f（x）在[1，3]上為單調(diào)函數(shù)，∴f′（x）≤0在[1，3]上恒成立．

令f′（x）=0，即x2+2ax+5=0，則a=

設(shè)g（x）=，則g′（x）=

令g′（x）=0得：x=或x=﹣（舍去）

∴當(dāng)1≤x≤時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)≤x≤3時(shí)，g′（x）≤0

∴g（x）在（1，）上遞增，在（，3）上遞減，

∵g（1）=﹣3 g（3）=﹣，g（）=﹣

∴g（x）的最大值為g（）=﹣，最小值為g（1）=﹣3

∴當(dāng)f′（x）≤0時(shí)，a≤g（x）≤g（1）=﹣3

∴a≤﹣3

故選：C．