Question

【題目】設函數f（x）=﹣2cosx﹣x+（x+1）ln（x+1），g（x）=k（x2+ ）．其中k≠0．
（1）討論函數g（x）的單調區間；
（2）若存在x1∈（﹣1，1]，對任意x2∈（ ，2]，使得f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g′（x）=2kx﹣ = ，

當k＞0時，令g′（x）＞0，得x＞1，∴g（x）的遞增區間為（1，+∞）．

令g′（x）＜0，得x＜1，x≠0，∴g（x）的遞減區間為（﹣∞，0），（0，1）．

k＜0時，同理得g（x）的遞增區間為（﹣∞，0），（0，1）；遞減區間為（1，+∞）

（2）解：f′（x）=2sinx﹣1+ln（x+1）+1=2sinx+ln（x+1），

∵當x∈（﹣1，1]時，y=2sinx及y=ln（x+1）均為增函數，

∴f′（x）在（﹣1，1]為增函數，又f′（0）=0，

∴當x∈（﹣1，0）時，f′（x）＜0；當x∈（0，1]時，f′（x）＞0，

從而，f（x）在（﹣1，0）上遞減，在（0，1]上遞增，

∴f（x）在（﹣1，1]上的最小值為f（0）=﹣2．

∵f（x1）﹣g（x2）＜k﹣6，∴f（x1）＜k﹣6+g（x2），

∴f（x）min＜k﹣6+g（x）min，當k＞0時，∴g（x）min=g（1）=3k，

∴4k﹣6＞﹣2，∴k＞1，

當k＜0時，g（x）min=g（2）=5k，∴6k﹣6＞﹣2，∴k＞ ，

又k＜0，∴k＜0時不合題意．

綜上，k∈（1，+∞）．

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論k的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，問題轉化為f（x）min＜k﹣6+g（x）min ， 通過討論k的范圍，結合函數的單調性，確定k的具體范圍即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．