Question

(13分) 已知曲線C：的橫坐標分別為1和，且a₁=5，數列{x_n}滿足x_n+1 = tf (x_n – 1) + 1（t > 0且）．設區間，當時，曲線C上存在點使得x_n的值與直線AA_n的斜率之半相等．
(1)    證明：是等比數列；
(2)    當對一切恒成立時，求t的取值范圍；
(3)    記數列{a_n}的前n項和為S_n，當時，試比較S_n與n + 7的大小，并證明你的結論．

Answer 1

(Ⅰ)略   (Ⅱ) 0<t< （Ⅲ）

：(1) ∵由已知得  ∴
由
∴即
∴是首項為2+1為首項，公比為2的等比數列. ········ 4分
(2) 由(1)得=（2+1）·2^n-1，∴
從而a_n=2x_n－1=1+，由D_n+1D_n，得a_n+1<a_n，即.   
∴0<2t<1，即0<t<9分
(3) 當時，  ∴
不難證明：當n≤3時，2^n-1≤n+1；當n≥4時，2^n-1>n+1.
∴當n≤3時，           
當n≥4時，
綜上所述，對任意的13分