Question

【題目】2019年泉州市農村電商發展迅猛，成為創新農產品交易方式、增加農民收入、引導農業供給側結構性改革、促進鄉村振興的重要力量，成為鄉村振興的新引擎.2019年大學畢業的李想，選擇回到家鄉泉州自主創業，他在網上開了一家水果網店.2019年雙十一期間，為了增加水果銷量，李想設計了下面兩種促銷方案：方案一：購買金額每滿120元，即可抽獎一次，中獎可獲得20元，每次中獎的概率為（），假設每次抽獎相互獨立.方案二：購買金額不低于180元時，即可優惠元，并在優惠后的基礎上打九折.

（1）在促銷方案一中，設每10個抽獎人次中恰有6人次中獎的概率為，求的最大值點；

（2）若促銷方案二中，李想每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的八折，求的最大值；

（3）以（1）中確定的作為的值，且當取最大值時，若某位顧客一次性購買了360元，則該顧客應選擇哪種促銷方案？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）20元；（3）選擇方案一，理由見解析

【解析】

(1) 依題意得：，利用求導，即可求出最值

(2) 設顧客一次購買水果的促銷前總價為，當元時，有恒成立，利用參變分離法，把和分別放在不等式兩邊即可求解.

(3)分別列出參加兩種活動的方案，然后分別計算出減負金額即可判斷應選擇哪種促銷方案

解：（1）依題意得：，

則，

當時，；當時，，

故在時取得最大值，所以.

（2）設顧客一次購買水果的促銷前總價為，

當元時，有恒成立，

即恒成立，所以，故的最大值為20元.

（3）若參加活動一，顧客可抽獎三次.設X表示顧客在三次抽獎中中獎的次數，

由于顧客每次抽獎的結果相互獨立，則，

所以.

由于顧客每中一次可獲得20元現金獎勵，

因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元，

若參加活動二，顧客可得減負金額為元.

又因為，所以顧客應該選擇活動二.