Question

【題目】已知O為原點，拋物線的準線與y軸的交點為H，P為拋物線C上橫坐標為4的點，已知點P到準線的距離為5.

（1）求C的方程；

（2）過C的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，若以AH為直徑的圓過B，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）由題意結合橢圓的性質可得，求得后即可得解；

（2）設，，直線AB的方程為，聯立方程組結合韋達定理可得，由圓的性質、直線垂直的性質可得，進而可得，再由拋物線的性質即可得解.

（1）由題意點，拋物線的準線方程為，

則，解得或（舍），

∴拋物線方程為；

（2）由題意拋物線的焦點為，準線方程為，，

由題意可知，直線AB的斜率存在且不為0，

設，，直線AB的方程為，

代入拋物線方程可得，，

∴，，①

又，，

由可得，∴，

整理得，即，

∴，②

把①代入②得，

則.