Question

【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）若，，判斷函數在上的單調性；

（2）令，，若，求證：方程無實根.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見證明

【解析】

（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性的關系即可求出，（2）方程f（x）﹣m（x+1）lnx＝0，轉化為x2ex﹣m（x+1）lnx＞x2（x+1）﹣m（x+1）lnx＝（x+1）（x2﹣mlnx），構造函數h（x）＝x2﹣mlnx，利用導數和函數的最值的關系即可證明．

（1）由已知，所以，

所以 ，

①若，在上恒有，

所以，所以在上為單調遞減；

②若，圖象與軸有兩個不同交點，

設的兩根分別為，.

（i）若，，，

所以當時，；當時，；當時，.

所以，此時在上和上分別單調遞減；在上單調遞增；

（ii）若，，.

所以，上總有；在當上，.

所以此時在上單調增，在上單調減.

綜上：若，在上為單調遞減；

若，在上和上分別單調遞減；在上單調遞增；

若，在上單調增，在上單調減.

（2）由題知，，所以，

令，

對任意實數，恒成立，

所以，即，

則 ，

令，

所以 ，

因為，所以 ，

所以時，，時，，

所以在上有最小值，

所以 ，

因為，所以，所以，

所以，即時，對任意，，

所以，

所以方程無實根.