Question

如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點，若N為菱形內任意一點（含邊界），則

AM

•

AN

的最大值為

9

．

Answer 1

分析：先以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系，求出其它各點的坐標，然后利用點的坐標表示出

AM

•

AN

，把所求問題轉化為在平面區域內求線性目標函數的最值問題求解即可．

解答：解：如圖，

以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系，由于菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，M為DC的中點，故點A（0，0），則B（2，0），C（3，

3

），D（1，

3

），M（2，

3

）．
設N（x，y），N為菱形內（包括邊界）一動點，對應的平面區域即為菱形ABCD及其內部區域．
因為

AM

=(2，

3

)，

AN

=（x，y），則

AM

•

AN

=2x+

3

y，
令z=2x+

3

y，則y=-

2 3

3

x+

3

3

z，
由圖象可得當目標函數z=2x+

3

y 過點C（3，

3

）時，z=2x+

3

y取得最大值，
此時z=2×3+

3

×

3

=9．
故答案為9．

點評：本題主要考查向量在幾何中的應用，以及數形結合思想的應用和轉化思想的應用，是對基礎知識和基本思想的考查，屬于中檔題．