Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD=60°，AC∪BD=O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=2

2

．
（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；
（3）求三棱錐B-DOM的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線定理，證出OM∥AB，結(jié)合線面平行判定定理，即可證出OM∥平面ABD．
（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，算出DO=

1

2

BD=2，OM=

1

2

AB=2，從而得到OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．結(jié)合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理，證出OD⊥平面ABC，從而證出平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得到OD為三棱錐D-BOM的高．算出△BOM的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐D-BOM的體積，即可得到三棱錐B-DOM的體積．

解答：解：（1）∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM∥AB．
又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，
∴OM∥平面ABD．
（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．
在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．
∵O為BD的中點(diǎn)，∴DO=

1

2

BD=2．
∵O為AC的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)，∴OM=

1

2

AB=2．
因此，OD²+OM²=8=DM²，可得OD⊥OM．
∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線，∴OD⊥平面ABC．
∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．
（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以O(shè)D是三棱錐D-BOM的高．
由OD=2，S_△BOM=

1

2

×OB×BM×sin60°=

3

，
所以V_B-DOM=V_D-BOM=

1

3

S_△BOM=×DO=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出平面折疊問(wèn)題，求證線面平行、面面垂直并求三棱錐的體積，著重考查了線面平行判定定理、線面垂直與面面垂直的判定和錐體的體積求法等知識(shí)，屬于中檔題．