Question

已知函數f（x）=-alnx+

2a2

x

+x
（Ⅰ）若a＞0，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x垂直，求實數a的值；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a∈（-∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≥-e^-4．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（I）f′（x）=-

a

x

-

2a2

x2

+1，由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x垂直，可得切線在該點處的斜率k=-2．于是f′（1）=-2，又a＞0，解出a即可．
（II）令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得x的范圍即可得出單調區間．
（III）當a∈（-∞，0）時，由（II）可得：g（a）=-aln（-a）-3a．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（I）f′（x）=-

a

x

-

2a2

x2

+1，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線y=

1

2

x垂直，
∴切線在該點處的斜率k=-2．
∴f′（1）=-a-2a²+1=-2，又a＞0，
解得a=-

3

2

．
（II）f′（x）=

x2-ax-2a2

x2

=

(x-2a)(x+a)

x2

（x＞0）．
∵a＜0，∴x-2a＞0．
令f′（x）=0，解得x=-a．
令f′（x）＞0，解得x＞-a，此時函數f（x）單調遞增；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜-a，此時函數f（x）單調遞減．
（III）證明：當a∈（-∞，0）時，由（II）可得：g（a）=-aln（-a）-3a．
g′（a）=-ln（-a）-4，
令g′（a）=0，解得a=-e^-4．
令g′（a）＜0，解得a＜-e^-4，此時函數g（a）單調遞減；令g′（a）＞0，解得0＜a＜-e^-4，此時函數g（a）單調遞增．
∴g（a）≥e^-4ln（e^-4）+3e^-4=-e^-4．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、幾何意義，考查了利用導數證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．