Question

設向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，點P(x，y)為動點，已知|a|＋|b|＝4.
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點P的軌跡與x軸負半軸交于點A，過點F(1，0)的直線交點P的軌跡于B、C兩點，試推斷△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ）△ABC的面積存在最大值，其最大值為 

（Ⅰ）由已知，                （1分）
所以動點P的軌跡M是以點為焦點，長軸長為4的橢圓.      （3分）
因為，則.                                    （4分）
故動點P的軌跡M的方程是.                                  （5分）
（Ⅱ）設直線BC的方程為，
由.                    （6分）
設點，則，.         （7分）
所以
.               （8分）
由題設，點A的坐標是(－2，0)，則點A到直線BC的距離.     （9分）
所以.
令，則.                      （10分）
設，則.因為當時，，則函數(shù)在上是增函數(shù).                                                          （11分）
所以當時，，從而，所以.          （12分）
故△ABC的面積存在最大值，其最大值為.                               （13分）