Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且內(nèi)切于定圓.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

（2）若上存在兩個(gè)點(diǎn)，，（1）中曲線上有兩個(gè)點(diǎn)，，并且，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）24

【解析】

（1）根據(jù)幾何關(guān)系得到，得到軌跡為橢圓，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.

（2）直線斜率不存在時(shí)，直接計(jì)算面積為；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)

，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，再利用均值不等式得到答案.

（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則，，所以，

由橢圓的定義知?jiǎng)訄A圓心的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓

，，所以，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的斜率為0，易得，，四邊形的面積.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為

聯(lián)立方程得，消元得

設(shè)，，則

.

∵，∴直線的方程為

，得

設(shè)，，則

四邊形的面積，

令，，上式

令，

，∴，∴

綜上所述：最小值為24.