Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未擊中，可以進行第二次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為0.5，他的命中率與距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的，設這位射手在這次射擊比賽中的得分數為ξ．
（I）求ξ的分布列；
（II）求ξ的數學期望．

Answer 1

分析：（I）設在xm處擊中目標的概率為P（x），則依題意有P（x）=

k

x2

，又由題意知：

1

2

=

k

1002

，所以k=5000，則P（x）=

5000

x2

，從而在150m處擊中目標的概率為

5000

1502

=

2

9

，在200m處擊中目標的概率為

5000

2002

=

1

8

．由此能求出ξ的分布列．（II）利用ξ的分布列，能求出Eξ．

解答：解：（I）設在xm處擊中目標的概率為P（x），
則依題意有P（x）=

k

x2

，
又由題意知：

1

2

=

k

1002

，
所以k=5000，則P（x）=

5000

x2

，…（3分）
從而在150m處擊中目標的概率為

5000

1502

=

2

9

，…（5分）
在200m處擊中目標的概率為

5000

2002

=

1

8

．…（6分）
于是P（ξ=0）=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
P（ξ=1）=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=3)=

1

2

，…（9分）
從而ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

…（10分）
（II）Eξ=0×

49

144

+1×

7

144

×2×

1

9

+3×

1

2

=

85

48

．　　　　　…（13分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．