Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且比賽結束．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為

1

2

，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．
（1）求射手甲在這次射擊比賽中命中目標的概率；
（2）求射手甲在這次射擊比賽中得分的數學期望．

Answer 1

分析：由題意可得，p=

k

x2

，結合x=100時，p=

1

2

可求k，然后求出p（x=150），p（x=200）
（1）設A_i表示第i次擊中（i=1，2，3），則射手甲在這次射擊比賽中命中目標為事件A=A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3，代入公式可求
（2）ξ的取值有3，2，1，0，然后根據相互獨立事件同時發生的概率公式求出每種取值的概率，可求答案

解答：解：由題意可得，p=

k

x2

∵x=100時，p=

1

2

=

k

1002

∴k=5000，p=

5000

x2

∴p（x=150）=

5000

1502

=

2

9

p（x=200）=

5000

2002

=

1

8

（1）設A_i表示第i次擊中（i=1，2，3）
記：“射手甲在這次射擊比賽中命中目標”，則A=A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3
∴P（A）=P（A1+

.

A1

A2+

.

A1

.

A 2

A3）=P（A₁）+P（

.

A1

A2）+P（

.

A1

.

A2

A3）
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

（2）ξ的取值有3，2，1，0
P（ξ=0）=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

P（ξ=1）=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

P（ξ=2）=

1

2

×

2

9

=

1

9

P（ξ=3）=

1

2

∴Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

點評：本題主要考查了等可能事件的概率求解及離散型隨機變量的期望值的求解