【題目】在平面直角坐標系
中，將曲線
（
為參數）上任意一點
經過伸縮變換
后得到曲線
的圖形．以坐標原點
為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（1）求曲線的普通方程和直線
的直角坐標方程；
（2）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設F1、F2分別為橢圓C：
＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，點A為橢圓C的左頂點，點B為橢圓C的上頂點，且|AB|＝
，△BF1F2為直角三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線y＝kx+2與橢圓交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求實數k的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某產品自生產并投入市場以來，生產企業為確保產品質量，決定邀請第三方檢測機構對產品進行質量檢測，并依據質量指標
來衡量產品的質量.當
時，產品為優等品；當
時，產品為一等品；當
時，產品為二等品.第三方檢測機構在該產品中隨機抽取500件，繪制了這500件產品的質量指標的條形圖.用隨機抽取的500件產品作為樣本，估計該企業生產該產品的質量情況，并用頻率估計概率.
（1）從該企業生產的所有產品中隨機抽取1件，求該產品為優等品的概率；
（2）現某人決定購買80件該產品.已知每件成本1000元，購買前，邀請第三方檢測機構對要購買的80件產品進行抽樣檢測.買家、企業及第三方檢測機構就檢測方案達成以下協議：從80件產品中隨機抽出4件產品進行檢測，若檢測出3件或4件為優等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產品的檢測費用250元由企業承擔.記企業的收益為
元，求的分布列與數學期望；
（3）商場為推廣此款產品，現面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動.客戶可根據拋硬幣的結果，操控機器人在方格上行進，已知硬幣出現正、反面的概率都是
，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機器人向前移動一次，若擲出正面，機器人向前移動一格（從
到
），若擲出反面，機器人向前移動兩格（從到
），直到機器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束，若機器人停在“勝利大本營”，則可獲得優惠券.設機器人移到第
格的概率為
，試證明
是等比數列，并解釋此方案能否吸引顧客購買該款產品.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了檢測某種零件的一條生產線的生產過程，從生產線上隨機抽取一批零件，根據其尺寸的數據分成
，
，
，
，
，
，
組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.若尺寸落在區間
之外，則認為該零件屬“不合格”的零件，其中
，
分別為樣本平均和樣本標準差，計算可得
（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.
（1）若一個零件的尺寸是
，試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件；
（2）工廠利用分層抽樣的方法從樣本的前
組中抽出
個零件，標上記號，并從這個零件中再抽取
個，求再次抽取的個零件中恰有
個尺寸小于
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，點
在
上.
（1） 求橢圓的方程；
（2） 設
分別是橢圓的上、下焦點，過
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，求
的內切圓的半徑的最大值．
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【題目】某中學為豐富教職工生活，在元旦期間舉辦趣味投籃比賽，設置A，B兩個投籃位置，在A點投中一球得1分，在B點投中一球得2分，規則是：每人按先A后B的順序各投籃一次(計為投籃兩次)，教師甲在A點和B點投中的概率分別為
和
，且在A，B兩點投中與否相互獨立.
(1)若教師甲投籃兩次，求教師甲投籃得分0分的概率
(2)若教師乙與教師甲在A，B投中的概率相同，兩人按規則投籃兩次，求甲得分比乙高的概率．
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【題目】設三棱錐
的每個頂點都在球
的球面上，
是面積為
的等邊三角形，
，
，且平面
平面
.
（1）求球的表面積；
（2）證明：平面
平面，且平面平面
.
（3）與側面平行的平面
與棱
，
，
分別交于
，
，
，求四面體
的體積的最大值.
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