Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在上.

（1） 求橢圓的方程；

（2） 設分別是橢圓的上、下焦點，過的直線與橢圓交于不同的兩點，求的內切圓的半徑的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據題意得e，①因為點橢圓C上，所以，②又b2＝a2﹣c2，③把①②③組成方程組，解得a，b，c，進而可以寫出橢圓方程；

（2）因為，所以，所以4a×r＝c×|﹣|，所以r|﹣|，設直線l方程為ykx，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2 kx﹣1＝0，由韋達定理得出|﹣|的最大值，即可求出答案．

解：（1）根據題意得e，①

因為點在橢圓C上，所以，②

又b2＝a2﹣c2，③

把①②③組成方程組，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3

所以橢圓方程為．

（2）設直線l方程為ykx， A（x1，y1），B（x2，y2），

因為，

所以，

所以4a×r＝c×|﹣|，

所以r|﹣|，

聯立直線l與橢圓的方程得（k2+4）x2﹣2 kx﹣1＝0，

所以，，

所以|﹣|，

＝444，

由基本不等式得（k2+1）26（當且僅當，即k2＝2，取“＝”），

所以|﹣|，

rmax．