Question

將24個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有　　　種．

Answer 1

  222

用4條棍子間的空隙代表3個(gè)學(xué)校，而用表示名額．如
　　     
表示第一、二、三個(gè)學(xué)校分別有4，18，2個(gè)名額．
若把每個(gè)“”與每個(gè)“”都視為一個(gè)位置，由于左右兩端必須是“｜”，故不同的分配方法相當(dāng)于個(gè)位置（兩端不在內(nèi)）被2個(gè)“｜”占領(lǐng)的一種“占位法”．
“每校至少有一個(gè)名額的分法”相當(dāng)于在24個(gè)“”之間的23個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙插入“｜”，故有種．
又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．
綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．
[解法二]　設(shè)分配給3個(gè)學(xué)校的名額數(shù)分別為，則每校至少有一個(gè)名額的分法數(shù)為不定方程
　　　　　．
的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，它等于3個(gè)不同元素中取21個(gè)元素的可重組合：
．
又在“每校至少有一個(gè)名額的分法”中“至少有兩個(gè)學(xué)校的名額數(shù)相同”的分配方法有31種．
綜上知，滿足條件的分配方法共有253－31＝222種．