【題目】如圖，設橢圓
（
）的左、右焦點分別為
，點
在橢圓上， 
， 
， 
的面積為
.
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）是否存在圓心在
軸上的圓，使圓在
軸的上方與橢圓
有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求圓的方程，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）
【解析】試題分析：（1）由題設知
其中
由
,結合條件
的面積為
，可求
的值，再利用橢圓的定義和勾股定理即可求得
的值，從而確定橢圓的標準方程；
（2）假設存在圓心在
軸上的圓，使圓在
軸的上方與橢圓兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點；設圓心在
軸上的圓與橢圓在
軸的上方有兩個交點為
由圓的對稱性可知
，利用
在圓上及
確定交點的坐標，進而得到圓的方程.
解：（1）設
，其中
，
由
得
從而
故
.
從而
，由
得
，因此
.
所以
，故
因此，所求橢圓的標準方程為： 
（2）如圖，設圓心在
軸上的圓
與橢圓
相交， 
是兩個交點， 
， 
,
是圓
的切線，且
由圓和橢圓的對稱性，易知
，
由（1）知
，所以
，再由
得
，由橢圓方程得
，即
，解得
或
.
當
時， 
重合，此時題設要求的圓不存在.
當
時，過
分別與
,
垂直的直線的交點即為圓心
，設
由
得
而
故
圓
的半徑
綜上，存在滿足條件的圓，其方程為： 
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的離心率為
，頂點為
，且
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）
是橢圓
上除頂點外的任意點，直線
交
軸于點
，直線
交
于點
．設
的斜率為
， 
的斜率為
，試問
是否為定值？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知向量 
=（ 
sin 
，1）， 
=（cos ，cos2 ），f（x）= ．
（1）求函數f（x）的解析式及其單調遞增區間；
（2）將f（x）的圖象向右平移 
個單位長度得到g（x）的圖象，若g（x）﹣k≤0在區間[0， 
]上恒成立，求實數k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l過點P（1，0，﹣1），平行于向量
=(2,1,1)，平面α過直線l與點M（1，2，3），則平面α的法向量不可能是（ ）
A.（1，﹣4，2）
B.(
,-1,
)
C.(-,1,-)
D.（0，﹣1，1）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
(其中e為自然對數的底數)， 
．
(I)求函數
的單調區間；
(II)設
，.已知直線
是曲線
的切線，且函數
上是增函數．
(i)求實數
的值；
(ii)求實數c的取值范圍．
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