Question

如圖已知拋物線：過點，直線交于，兩點，過點且平行于軸的直線分別與直線和軸相交于點，．
 
(1)求的值；
(2)是否存在定點，當直線過點時，△與△的面積相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）p=1;（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）因為在拋物線C上，所以將點P坐標代入方程，即可求得p=1．
（2）先假設存在定點Q，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程為y=kx+b．聯立得，當時，有．由題意知，，
因為△PAM與△PBN的面積相等，所以，即解得或．所求的定點Q即為點A，即l過Q(0,0)或Q(2,2)時，滿足條件．.
試題解析：（1）因為在拋物線C上，所以1=2p·，得p=1．
（2）假設存在定點Q，設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB的方程為y=kx+b．
聯立得，當時，有．
所以()()=(*)由題意知，，
因為△PAM與△PBN的面積相等，所以，
即，
也即
根據(*)式，得()²=1，解得或．
所求的定點Q即為點A，
即l過Q(0,0)或Q(2,2)時，滿足條件．
考點：直線與拋物線的位置關系.