Question

如圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合．

（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值．

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析

解析試題分析：（1）根據(jù)題意及列方程組可得的值。即可得此橢圓方程。（2）設(shè)出的坐標(biāo)及直線的方程與橢圓方程聯(lián)立消掉可得關(guān)于的方程，根據(jù)題意可知判別式應(yīng)大于0，根據(jù)韋達(dá)定理可得此方程的兩根之和與兩根之積。即點(diǎn)橫坐標(biāo)間的關(guān)系，代入直線方程，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。然后根據(jù)斜率公式可得斜率之和，將其化簡(jiǎn)問(wèn)題即可得證。
試題解析：由題意，可得，代入
得，又，      2分
解得，，，
所以橢圓的方程.        5分
(2)證明：設(shè)直線的方程為，又三點(diǎn)不重合，∴，設(shè)，，
由得
所以 
 ①   ②       8分
設(shè)直線，的斜率分別為，，
則
 (*)       10分
將①、②式代入(*)，
整理得，
所以，即直線的斜率之和為定值.          12分
考點(diǎn)：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題；3定值問(wèn)題。