Question

已知二次函數f（x）=x²+x，函數F（x）=f（-x）+f（x）-2x．
（1）求函數F（x）的零點；
（2）設F（x）的兩個零點為α、β，且α＜β，集合C={x|α≤x≤β}，若方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解，求實數a的取值范圍；
（3）記函數f（x）在C上的值域為A，若函數g（x）=x²-tx+

t

2

，x∈[0，1]的值域為B，且A⊆B，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系,函數零點的判定定理

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）化簡F（x）=f（-x）+f（x）-2x=2x²-2x=2x（x-1），從而寫出函數F（x）的零點；
（2）化簡集合C，化方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解可化為t²+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；從而求解；
（3）化簡集合A，討論g（x）=x²-tx+

t

2

的單調性，從而求集合B，使A⊆B，從而求實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）F（x）=f（-x）+f（x）-2x
=2x²-2x=2x（x-1）；
故函數F（x）的零點為0，1；
（2）由（1）得，α=0，β=1；
C=[0，1]；
方程f（a^x）-a^x+1=5可化為
（a^x）²+a^x-a^x+1-5=0，
即（a^x）²+（1-a）a^x-5=0；
令t=a^x，
則方程f（a^x）-a^x+1=5（a＞1）在集合C上有解可化為
t²+（1-a）t-5=0在[1，a]上有解；
結合y=t²+（1-a）t-5的圖象可得，
只需使a²+（1-a）a-5≥0，
即a≥5；
（3）由題意，A=[0，2]；
g（x）=x²-tx+

t

2

=（x-

t

2

）²+

t

2

-

t2

4

；
則

t

2

-

t2

4

≤0，
故t≥2或t≤0，
①若t≤0；
g（x）=x²-tx+

t

2

在[0，1]上是增函數，
故

t

2

≤0且1-t+

t

2

≥2，
解得，t≤-2；
②若t≥2；
則g（x）=x²-tx+

t

2

在[0，1]上是減函數；
故1-2t+

t

2

≤0且

t

2

≥2，
解得，t≥4；
故t≤-2或t≥4．

點評：本題考查了二次函數的性質應用，同時考查了集合，屬于中檔題．