Question

設二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）-x＜0的解集為（x₁，x₂），其中x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，當x∈（x₁，x₂）時，求證x₁＜f（x）＜x₂．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得f（x）的圖象開口向上，且f（x）的圖象和直線y=x的交點的橫坐標分別為x₁，x₂ ，數形結合證得結論．

解答： 解：由不等式f（x）-x＜0的解集為（x₁，x₂），其中x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
可得a＞0，故f（x）的圖象開口向上，且f（x）的圖象和直線y=x的交點的橫坐標分別為x₁，x₂ ，如圖：
故當x∈（x₁，x₂）時，求證x₁＜f（x）＜x₂．

點評：本題主要考查二次函數的性質，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．