Question

若關于x的不等式|x-1|＜ax的解集中恰好有兩個整數，則a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，

  2

  3

  ]
• B、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、（

  2

  3

  ，1]
• D、（-1，0）

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由題意可得滿足（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1的整數x共有2個，分類討論求得a的范圍．

解答： 解：由|x-1|＜ax，可得-ax＜x-1＜ax，∴（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1．
①當a＜-1時，則有x＜

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，故 x＜

1

a+1

，顯然，x有無數多個，不滿足條件．
②當a=-1時，則有0＞1且x＜

1

2

，不滿足條件．
③當-1＜a＜1時，則有x＞

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，由于x只有2個整數解，∴1＜

1

1-a

-

1

a+1

≤2，
求得

2

-1＜a≤

5 -1

2

．
代入2個a的端點值，可得不等式|x-1|＜ax的解集中的2個整數應為1和2，∴0≤

1

a+1

＜1，且 3≥

1

1-a

＞2，
求得

1

2

＜a≤

2

3

．
④當a=1時，滿足x＞

1

2

，顯然不止兩個整數解（舍去）．
⑤當a＞1時，則有（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1，∴然不止兩個整數解（舍去）．
綜上可得，得

1

2

＜a≤

2

3

，
故選：B．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．