Question

【題目】已知橢圓Γ：的離心率為，左右焦點分別為F1，F2，且A、B分別是其左右頂點，P是橢圓上任意一點，△PF1F2面積的最大值為4.

（1）求橢圓Γ的方程.

（2）如圖，四邊形ABCD為矩形，設M為橢圓Γ上任意一點，直線MC、MD分別交x軸于E、F，且滿足，求證：AB＝2AD.

Answer 1

【答案】（1）1（2）證明見解析；

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結合的關系，解方程可得所求橢圓方程；

（2）設，，，令，運用直線方程和兩直線的交點，化簡整理，即可得證.

（1）由題意可得，解得.

所以橢圓的方程為1.

（2）設，，，令，

由，故的方程為，

直線交軸于，

令，則，

即：.

由，故的方程為，

直線交軸于，

令，則，

即：.

因為，

所以.

可得，

即，得.

又因為，所以，

可得，即，

因為為橢圓上一點，

所以，解得，

所以，即證：.