Question

對于三次函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d(a≠0)

定義：(1)設是函數y＝f(x)的導數y＝(x)的導數，若方程(x)＝0有實數解x₀，則稱點為函數y＝f(x)的“拐點”．

(2)設x₀為常數，若定義在R上的函數y＝f(x)對于定義域內的一切實數x，都有f(x₀＋x)＋f(x₀－x)＝2f(x₀)成立，則函數y＝f(x)的圖象關于點對稱．

己知f(x)＝x³－3x²＋2x＋2

求：(Ⅰ)求函數f(x)的“拐點”A的坐標

(Ⅱ)檢驗函數f(x)的圖象是否關于“拐點”A對稱；對于任意的三次函數，由此你能得到怎樣的結論(不必證明)

(Ⅲ)寫出一個三次函數G(x)，使得它的“拐點”是(－1，3)不要過程

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依題意，得： 　　∴　　2分 　　即∴又 　　∴的“拐點”坐標是　　4分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知“拐點”坐標是 　　而 　　＝ 　　＝＝ 　　由定義知：關于點對稱　　8分 　　一般地：三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心．　　10分 　　(或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數………)都可以給分 　　(Ⅲ)或寫出一個具體的函數 　　如或　　12分