Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E為PC的中點．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

試題分析：（1）要想證明線面平行，由線面平行的判定定理可知：只需證明此直線與平面內的某一直線平行即可，考慮到E為PC的中點，所以取中點為,連接和AF;然后利用三角形的中位線的性質及空間中平行線的傳遞性可證BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD內,從而可證BE∥平面PAD；（2）由已知可知直線DA、DC、DP兩兩互相垂直，所以我們可以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系．從而由已知就可寫出點Ｐ、C、A、B的坐標.進而因為E是PC的中點，求出E的坐標，然后就可寫出平面BDE內不共線的兩個向量的坐標，如，再設出平面BDE的一個法向量為，利用可求出平面BDE的一個法向量；而平面BDC的一個法向量顯然為：，從而利用兩法向量的夾角公式：就可求得所求二面角的余弦值．
試題解析：（1）證明：令中點為，連接，     1分
點分別是的中點，
,.
四邊形為平行四邊形.   2分
,平面,
平面                4分
(三個條件少寫一個不得該步驟分）   
 　　　　       5分
（2）以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系（如圖）．

則.     
因為E是PC的中點，所以E的坐標為               6分
設平面DBE的一個法向量為，而
則令則所以             9分
而平面DBC的一個法向量可為
故                 12分
所以二面角E-BD-C的余弦值為。     13分