Question

已知A（2，2），點M在拋物線y²=4x上，F是拋物線的焦點，求MA+MF的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據拋物線方程及A點坐標可以推知A點在拋物線內，把拋物線上的點到焦點的距離轉化為到拋物線的準線的距離，結合圖象，易得過點A且與準線l垂直的直線與拋物線的交點即為所求，進而得到最小值．

解答： 解：拋物線y²=4x的焦點F為（1，0），準線方程為x=-1．
設P是拋物線上任意一點，l是拋物線的準線，
過P作PP₁ ⊥L，垂足為P₁，過A作AA₁⊥l，垂足為A₁，
且交拋物線于點M，
∴|PA|+|PF|=|PA|+|PP₁|≥|AA₁|=|MA|+|MA₁|
=|MF|+|MA|=3，
即M點為所求．把y=2代入y²=4x中，解得x=1，
故M（1，2）此時MA+MF的最小值為3．

點評：本題主要考查了拋物線的定義，充分利用了拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相等這一特性，運用了轉化思想和數形結合思想．