Question

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，F₁、F₂為焦點，點P在橢圓上，直線PF₁與PF₂的傾斜角的差為90°，△F₁PF₂的面積是20，離心率為

5

3

，求橢圓的標準方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：不妨設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由于直線PF₁與PF₂的傾斜角的差為90°，可得PF₁⊥PF₂．設|PF₁|=m，|PF₂|=n．由于△F₁PF₂的面積是20，離心率為

5

3

，可得

1

2

mn=20，

c

a

=

5

3

，又m+n=2a，m²+n²=4c²，a²=b²+c²．聯立解得即可．

解答： 解：不妨設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵直線PF₁與PF₂的傾斜角的差為90°，
∴PF₁⊥PF₂．
設|PF₁|=m，|PF₂|=n．
∵△F₁PF₂的面積是20，離心率為

5

3

，
∴

1

2

mn=20，

c

a

=

5

3

，
又m+n=2a，m²+n²=4c²，a²=b²+c²．
聯立解得a=3

5

，c=5，b²=20．
∴橢圓的標準方程為：

x2

45

+

y2

20

=1．

點評：本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、勾股定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．