Question

（2013•海淀區一模）已知函數f（x）=sin

π

2

x，任取t∈R，定義集合：A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤

2

}．設M_t，m_t分別表示集合A_t中元素的最大值和最小值，記h（t）=M_t-m_t．則
（1）函數h（t）的最大值是

2

；
（2）函數h（t）的單調遞增區間為

（2k-1，2k），k∈Z

．

Answer 1

分析：（1）理清A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤

2

}的含義為：表示以P點為圓心，

2

為半徑的圓及其內部函數y=sin

πx

2

的圖象上所有的點的縱坐標的集合，再利用正弦函數的周期性、單調性與最值可求得M_t，m_t，從而可求得函數h（t））=M_t-m_t的最大值；
（1）由（1）結合正弦函數的周期性與單調性即可求得函數h（t）的單調遞增區間．

解答：解：A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤

2

}表示以P點為圓心，

2

為半徑的圓及其內部函數y=sin

πx

2

的圖象上所有的點的縱坐標的集合，

∵f（-2）=f（0）=f（2）=0，f（1）=1，f（-1）=-1，設O（0，0），A（1，1），B（2，0），則AO=AB=

2

，
∴M_t=

1，4k≤t≤4k+2(k∈Z) f(t)+ [2-(x0-t)2] ，4k-2≤t＜4k(k∈Z)

，
其中x₀是最高點Q的橫坐標，
同理，m_t=

-1，4k-2≤t≤4k(k∈Z) f(t)- [2-(x1-t)2] ，4k≤t＜4k+2(k∈Z)

；
其中x₁是最低點Q的橫坐標．
∴函數h（t）的最大值是2（t=4k或4k+2時取得），
單調增區間是（2k-1，2k）．

點評：本題考查函數的值域，著重考查抽象函數的理解與應用，明確A_t={y|y=f（x），點P（t，f（t）），Q（x，f（x））滿足|PQ|≤√2}的含義是難點，也是解決問題的關鍵，考查抽象思維能力與綜合運算能力，屬于難題．