Question

【題目】設，且．

（1）求的值及的定義域；

（2）求在區間上的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

分析：(1)因為，代入解析式可得，進而可得＝2。求定義域，使得解析式由意義即可，可得解不等式組可得定義域(－1,3)。(2) 要求在區間上的最大值。應先出解析式，進而求單調性。由(1)可得)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)變形為f(x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，因為函數y=－(x－1)2＋4對稱軸為，根據復合函數的單調性可得當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數；當x∈(1,3)時，f(x)是減函數，進而得函數f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

詳解：(1)∵f(1)＝2，

∴loga4＝2(a＞0，a≠1)，

∴＝2.

由得x∈(－1,3)，

∴函數f(x)的定義域為(－1,3).

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]

∴當x∈(－1,1]時，f(x)是增函數；

當x∈(1,3)時，f(x)是減函數，

故函數f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.